cotx 的画图，实际上就是把那个正切函数翻个面，再打个折。别被名字骗了，它长得跟 tan 一模一样，只是对称轴变了。正切是“向左上，向右上”那种疯狂爬坡的样子，cotx 就是彻底反过来，往左下，往右下，像个折了弯的滑梯。 起初得确认它的定义域，这是画图的底线。正切是除零不可，cotx 也是。分母不能为 0，也就是 $sin x$ 不能为 0。在单位圆里想，sin x 为 0 就是 x 等于 kπ，也就是那些 x 轴上的刻度线。

故此 cotx 的定义域就是 ${x | kpi

这个区间实际上就是第一、四象限的夹角，从 x 轴正半轴往回折，一直折到负半轴。在这个范围内，cotx 是从正无穷掉到负无穷，过程贼平滑，没有跟自转轴交点，也没有震荡。 画这个图，最直观的方式是用两个坐标系叠在一起，要么干脆在一张纸上画。先看 $x in (0, pi/2)$ 这个第一象限小花瓣。当 x 趋近于 0 时，cotx 的值趋近于正无穷，图像要从上方无限靠近 x 轴。当 x 增大到 $pi/2$ 时，cotx 的值变成 0，图像正好落在 x 轴上。

这一段是从左上角对折下来，平滑地落在 x 轴中点。 再看下一个区间，$(pi/2, pi)$。

这里 x 是第二象限的一局部。cotx 的值从 0 启动，数值越来越小，变成负数。

随着 x 往 $pi$ 靠近，cotx 从负无穷往上爬，最终又回到 0。

这一段是从 x 轴中点向左下方无限延伸，再折回来。 为了把这两个区间连起来，你得理解它的周期。cotx 的周期是 $pi$，也就是每 $pi$ 就重复一次这个“左边下降右边上升”的形态。画完一个周期后，后面的图形就是前面的平移，只是整体向右移动了 $pi$ 的距离。 这时候就要处理渐近线了。正切函数有垂直渐近线，cotx 也有，不过位置不同。正切在 $pi/2$ 处垂直，cotx 在 $pi/2$ 处垂直，但在其他地方呢？cotx 只有当 $sin x = 0$ 的时候才有垂直渐近线。也就是 $x = 0, pi, 2pi, dots$。

故此在 x 轴上的这些点，图像都会撞个满怀，垂直向上要么向下炸开。 举个例子，算一下几个关键点，这样你就大约知道形状了。 $x = pi/4$ 的时候，cotx 等于 $tan(pi/4) = 1$。

这是一个好办的点，$(pi/4, 1)$。 $x = 3pi/4$ 的时候，cotx 等于 $tan(3pi/4) = -1$。

这是 $(3pi/4, -1)$。 $x = pi/2$ 是渐近线，图像贴着的是 $x=pi/2$ 这条竖线，但它本身不接触。 $x = 0$ 是渐近线，图像贴着 $x=0$。 把这些点画出来，把那两段折痕连起来，你就能看到那个典型的“下降 - 上升”的波浪了。记得在两个极值点之间，也就是在渐近线中间，cotx 的单调性是递减的。

比如从 $pi/2$ 到 $3pi/2$，cotx 是从 $+infty$ 降到 $-infty$ 再升到 $+infty$。

这个过程在图上表现为从高处猛一下跌，再斜着往上爬。 最终收尾，别忘了要加上图像下方的渐近线。在 $(-infty, -pi/2)$ 这个区间里，cotx 同样是单调递减，从 $+infty$ 跨过 x 轴变成 $-infty$。

故此画图的时候，一定要在左边也有一条垂直的线，表示那里也是“断崖”的。 再想一下应用场景，这个函数往往出目前物理里的简谐运动要么电路分析里，表示相位差要么滞后。它的图像就像是一个个被挤在 x 轴上的小山峰，只不过这些山峰是倒过来的，并且是连续的。每一段都是单调的，没有来回震荡，这种“单峰”特性在画的时候能帮你快速锁定范围，不用揪心画错峰谷。 总而言之，cotx 的图形就是一系列间隔为 $pi$ 的、位于 x 轴上方的“V”字形（实际上是像滑梯一样向下再向上），每个小滑梯的顶端顶着 x 轴，脚底被渐近线夹死。画它时，先找定义域的开区间，再填点，最终加上那些垂直的断崖。

只要记住它是周期函数，且只有当分母为 0 时有垂直渐近线，其他时候都是平滑的折线，就能根本搞定这张图。