画函数 $y=arctan(1)$ 的时候，脑子里实际上先蹦出的不是那个反三角符号，而是“反正切”这三个字。它到底长啥样，你得顺着数轴往下摸，别急着往教科书里找定义。 在坐标纸的格子里，把 $x$ 轴随意划一条线，$y$ 轴随意立起来，你会发现这玩意儿是个最标准的斜线。它从原点出发，斜着往右上跑。

这个斜率是多少呢？倒数一，也就是 $-1$。

这就对上了。它的终点坐标是 $(1, 1)$，出于 $x$ 加一等于一，$y$ 加一也等于一。

故此，你只需求在图上画一条穿过原点和 $(1,1)$ 点的对角线，再标个箭头指向第一象限，这就行了。 但光这样还不够，出于反正切不是只盯着 $x$ 轴看，它实际上是个“找角度”的家伙。你在 $x$ 轴上找一单位长度的点，往上画一条垂直线，再往右画一条水平线，夹住那个角。

这个角就是反正切值了。

故此画 $y=arctan(1)$，本质上就是在数轴上找那个 $1$ 度角，然后用斜线连那会儿。 你要是把笔头往那画，可能得管好多遍。出于反正切函数 $text{arctan}(x)$ 是个奇函数。

这意味着它的图像关于原点对称。

既然画了第一象限那条 $y=x$ 的斜线，那第四象限就赶紧把这斜线也补上，方向反之。你能够试着画三个点：$(-1, -1)$、$(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。

这三个点一连起来，第一象限的线就是 $y=x$，第四象限的线就是 $y=-x$。

这时候再看 $x$ 轴上的 $1$ 和 $-1$，分别对应 $y$ 轴上的 $1$ 和 $-1$，这就彻底吻合了。 你可能会认定这忒好办了，仿佛不用管那么多弯弯绕绕。但实际上反三角函数最烧脑的地方往往不在于计算，而在于它和正切函数的关系。

反正切和正切之间有个倒数关系，也就是 $tan(arctan(x)) = x$。画 $y=arctan(1)$，实际上就是求 $tan^{-1}(1)$。

这就好比你手里有一把尺子，要测出 $45$ 度角是多少。 实际上这个角度是个特别熟悉的，叫 $45$ 度，要么 $pi/4$。在三角函数里，$1$ 度角最接近的正切值就是 $1$。

故此 $tan(45^circ)=1$，反过来 $arctan(1)=45^circ$。

要是你非要把它画成弧度制，那就是 $pi/4$，大约是 $0.785$。你不需求非得用度制，弧度制对于函数图像来说更顺眼，出于它把角度变成了长度。 画的时候，别被那些复杂的公式吓住了。$y=arctan(1)$ 实际上就是一条好办的线段。你只需求把 $x$ 轴上的刻度 $1$ 对应到 $y$ 轴上的高度 $1$，然后连起来，这就够了。

要是在 $x$ 轴上随意找个点，比如 $x=0.5$，那对应的 $y$ 值就是 $arctan(0.5)$，它肯定小于 $45$ 度，也大于 $30$ 度，大约就在 $26$ 度左右。你能够画一个 $0.5$ 高的点，连起来看看，是不是就那条对角线的一局部。 有时候你会想，反正切是不是只用在物理要么工程里？实际上不然。它就在你随手画几个点，然后连线的斜率里。

比方说，画一个 $x=0$ 的线，往上走一点，斜率是 $1$，那就是 $45$ 度。往上再走一点，斜率变小，角度也就变小了。往下走，斜率变大，角度又变大了。

这个变化过程，就是 $arctan(x)$ 的图像走势。 最直观的画法是，先画个坐标系，随意画两个点，比如 $(-1, y_1)$ 和 $(1, y_2)$。出于函数是单调递增的，故此只要保证这两个点的横坐标一正一负，纵坐标也一低一高，然后连两点之间，就是你整个函数的样子。对于 $x=1$ 这个特定的输入值，你就只需求关切那个点对应的纵坐标。 你想不想试试不用算，直接试？在 $x$ 轴上找 $1$，然后往右画一条线，看看它和水平线的夹角。

这个角的大小，就是 $arctan(1)$ 的值。你能够拿卷尺量一下，这个角大约是 $45$ 度。

既然知道了角度，画线就顺了。你不需求管别的那个数字，只要认准 $1$ 对 $1$，画一条斜率为 $1$ 的直线，那就是答案了。 再说回“反正切”这个名字，它实际上是来求角度的。你给一个长度（比如 $1$），问“这个长度对应的角度是多少”，答案就是反正切。

故此画它，就是为了回答这个难题。当 $x=1$ 时，你就在问“长度等于 1 的角度是多少”。答案是 $45$ 度。你只需求在图上标个 $1$ 在 $x$ 轴，然后连到 $y$ 轴上的 $1$，那个夹角就是答案。 有时候你会纠结要不要把角度写成几百位小数，比如 $0.785398dots$。

实际上对于 $x=1$ 这个特殊值，直接写 $0.785$ 要么就连 $45$ 度都没难题。

反正切函数的图像是一条平滑的曲线，但在 $x=1$ 这个点，它彻底能够用直线来近似表示，出于它切线就在那儿。你要是非要精确到小数点后四位去画，那线条就会变得略微有点粗，但在 $x=1$ 附近，它简直就是直的。 在物理世界里，这个图像常用于描述波的传播要么相位差。

要是你有一个波峰，它的水平位移（相当于 $x$）是 $1$，问它相对于平衡位置的相位是多少，你就需求用这个图像。画出来之后，你会发现那个相位差就是一个固定的角度，大约 $45$ 度。

这比背一堆公式管用多了。 故此，画 $y=arctan(1)$ 的时候，确实不用绕弯子。

只要记住它是个 $45$ 度的斜线，穿过原点，斜率是 $1$，你就画得差不多了。把它画到纸上，把 $(1,1)$ 这个点标红，要么打个叉，你就赢了。

这就是最纯粹的数学直觉，不需求那些复杂的公式推导，只需求知道你看对了一次 $45$ 度，画对了一条 $45$ 度的线就行了。 说到底，反三角函数图像的本质，就是坐标系里找角度、画斜线。当 $x$ 等于 $1$ 的时候，你就是在找那个最标准的 $45$ 度角。画它，就是画那条斜率为 $1$ 的直线。想象一下，你手里拿着一把直尺，量一下 $1$ 的长度，告诉你这长度对应的角是 $45$ 度，然后你就画了一条斜率为 $1$ 的直线，就是如此好办。其他的数字，不过是锦上添花，要么是为了展示函数的单调性罢了，对于 $x=1$ 这个特定的点，它不需求 mucho 心思。